Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
2)
2)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada inversa de Laplace. A gente precisa achar a transformada inversa da função racional
. Para isso, vamos usar a fração parcial, que nos ajuda a quebrar funções complicadas em partes mais simples que a gente já sabe transformar de volta no domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador para facilitar a decomposição. O denominador é
. Vamos fatorar o polinômio quadrático:
Então, o denominador fatorado fica:
Passo 3
Agora, vamos escrever a função como uma soma de frações parciais. Temos:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
.
Passo 4
Para encontrar
,
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelos fatores do denominador:
Agora, escolheremos valores de
que simplificam a equação:
-
Para encontrar
, vamos escolher : -
Para encontrar
, vamos escolher : -
Para encontrar
, vamos escolher :
Passo 5
Agora que temos os valores de
,
e
, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
Passo 6
Por fim, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo individualmente. Sabemos que:
Aplicando isso a cada termo:
Resposta
A transformada inversa é:
Exercícios relacionados
Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
f)
f)
Considere uma partícula
no espaço, cuja trajetória no instante
é dada por
. Considere o vetorvelocidade
, no instante
.
Qual é a velocidade escalar em e qual é o domínio do vetor-velocidade?
Qual é a velocidade escalar em
Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
6) .
6)