Considere uma partícula
no espaço, cuja trajetória no instante
é dada por
. Considere o vetorvelocidade
, no instante
.
Qual é a velocidade escalar em
e qual é o domínio do vetor-velocidade?
Qual é a velocidade escalar em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move no espaço, e a trajetória dela é dada por um vetor posição
. A velocidade dela em qualquer instante
é representada pelo vetor velocidade
. Nosso objetivo aqui é descobrir duas coisas:
- Qual é a velocidade escalar da partícula quando
. - Qual é o domínio do vetor-velocidade, ou seja, para quais valores de
o vetor velocidade está definido.
Para isso, vamos precisar entender o que é velocidade escalar e domínio de uma função vetorial. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a velocidade escalar. A velocidade escalar é simplesmente a magnitude (ou comprimento) do vetor velocidade. Então, para encontrar a velocidade escalar em
, precisamos calcular a magnitude de
.
A fórmula para a magnitude de um vetor
é:
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula no nosso vetor velocidade
quando
.
Primeiro, substituímos
por
em cada componente do vetor:
Então,
.
Passo 4
Agora, calculamos a magnitude desse vetor:
Vamos simplificar isso:
(Usamos uma aproximação para facilitar a conta final.)
Passo 5
Agora, vamos determinar o domínio do vetor-velocidade
. O domínio de uma função ou vetor é o conjunto de valores de
para os quais todas as componentes estão definidas.
Vamos analisar cada componente:
-
: Essa função está definida para todo número real, então não restringe o domínio. -
: A função exponencial está definida para todo número real, também não restringe o domínio. -
: Aqui temos uma divisão, e o denominador não pode ser zero, ou seja, .
Resposta
A velocidade escalar da partícula em
é aproximadamente
unidades de velocidade, e o domínio do vetor-velocidade é todos os números reais exceto
.
Exercícios relacionados
Suponha que a variável aleatória bidimensional
tenha fdp conjunta
a) Verifique se a função conjunta é a fdp.
Considere uma partícula
no espaço, cuja trajetória no instante
é dada por
. Considere o vetorvelocidade
, no instante
.
Como é a aceleração , no instante
, da partícula
?
Como é a aceleração
Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
f)
f)
Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
2)
2)