Considere uma partícula P no espaço, cuja trajetória no instante t é dada por r(t). Considere o vetorvelocidade v(t) = (t^3, e^(t-1), (t-1)/t), no instante t.
Qual é a velocidade escalar em t = 3 e qual é o domínio do vetor-velocidade?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move no espaço, e a trajetória dela é dada por um vetor posição r(t). A velocidade dela em qualquer instante t é representada pelo vetor velocidade . Nosso objetivo aqui é descobrir duas coisas:
  1. Qual é a velocidade escalar da partícula quando .
  2. Qual é o domínio do vetor-velocidade, ou seja, para quais valores de t o vetor velocidade está definido.
Para isso, vamos precisar entender o que é velocidade escalar e domínio de uma função vetorial. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a velocidade escalar. A velocidade escalar é simplesmente a magnitude (ou comprimento) do vetor velocidade. Então, para encontrar a velocidade escalar em , precisamos calcular a magnitude de .
A fórmula para a magnitude de um vetor é:

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula no nosso vetor velocidade quando .
Primeiro, substituímos t por em cada componente do vetor:
Então, .

Passo 4

Agora, calculamos a magnitude desse vetor:
Vamos simplificar isso:
(Usamos uma aproximação para facilitar a conta final.)

Passo 5

Agora, vamos determinar o domínio do vetor-velocidade . O domínio de uma função ou vetor é o conjunto de valores de t para os quais todas as componentes estão definidas.
Vamos analisar cada componente:
  1. : Essa função está definida para todo número real, então não restringe o domínio.
  2. : A função exponencial está definida para todo número real, também não restringe o domínio.
  3. : Aqui temos uma divisão, e o denominador t não pode ser zero, ou seja, t != 0.

Resposta

A velocidade escalar da partícula em é aproximadamente unidades de velocidade, e o domínio do vetor-velocidade é todos os números reais exceto .

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