Suponha que a variável aleatória bidimensional tenha fdp conjunta
d) Calcule o seguinte:
(1) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória bidimensional com uma função densidade de probabilidade (fdp) conjunta definida por:
á
O que a gente precisa calcular é , ou seja, a probabilidade de ser maior que . Para isso, vamos precisar entender como trabalhar com funções de densidade conjunta e marginais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a função densidade marginal de , que a gente denota por . A função marginal é obtida integrando a fdp conjunta em relação a em todo o intervalo possível de . Então, temos:

Passo 3

Vamos fazer essa integração passo a passo. Primeiro, separemos os termos dentro da integral:
A gente resolve cada integral separadamente:
  1. Para , como é constante em relação a :
  1. Para :

Passo 4

Agora, somamos os resultados das integrais:
Então, a função densidade marginal de é:

Passo 5

Com a função marginal de em mãos, podemos calcular . Isso significa integrar de até 1:

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Calculando cada parte:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 7

Agora, somamos os resultados das integrais:

Resposta

Portanto, a probabilidade de ser maior que é ou aproximadamente 0,8333.

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Trace as superfícies de nível das funções abaixo:
Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
4)