Suponha que a variável aleatória bidimensional (X, Y) tenha fdp conjunta
f(x, y)= x^2+x y3 & se 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 2 0 & se c c
d) Calcule o seguinte:
(1) P(X>12).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória bidimensional f(x, y)= x^2+x y3 & se 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 2 0 & caso contrário com uma função densidade de probabilidade (fdp) conjunta definida por:
á
O que a gente precisa calcular é , ou seja, a probabilidade de ser maior que . Para isso, vamos precisar entender como trabalhar com funções de densidade conjunta e marginais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a função densidade marginal de fX(x) = integral0^2 f(x, y) , dy = integral0^2 (x^2 + x y3) dy , que a gente denota por . A função marginal é obtida integrando a fdp conjunta em relação a em todo o intervalo possível de . Então, temos:

Passo 3

Vamos fazer essa integração passo a passo. Primeiro, separemos os termos dentro da integral:
fX(x) = integral0^2 x^2 , dy + integral0^2 x y3 , dy
A gente resolve cada integral separadamente:
  1. Para integral0^2 x^2 , dy = x^2 cdot (2 - 0) = 2x^2 , como integral0^2 x y3 , dy = x3 cdot [y^22]0^2 = x3 cdot (42 - 0) = x3 cdot 2 = 2x3 é constante em relação a :
  1. Para :

Passo 4

Agora, somamos os resultados das integrais:
fX(x) = 2x^2 + 2x3
Então, a função densidade marginal de fX(x) = 2x^2 + 2x3 para 0 <= x <= 1 é:

Passo 5

Com a função marginal de P(X > 12) = integral12^1 (2x^2 + 2x3) dx em mãos, podemos calcular . Isso significa integrar de até 1:

Passo 6

Vamos resolver a integral:
integral12^1 2x^2 , dx + integral12^1 2x3 , dx
Calculando cada parte:
  1. Para 2 cdot [x^33]12^1 = 23 (1^3 - (12)^3) = 23 (1 - 18) = 23 cdot 78 = 1424 = 712 :
23 cdot [x^22]12^1 = 23 cdot (1^22 - (12)^22) = 23 cdot (12 - 18) = 23 cdot 38 = 624 = 14
  1. Para :

Passo 7

Agora, somamos os resultados das integrais:
P(X > 12) = 712 + 14 = 712 + 312 = 1012 = 56 approx 0,8333

Resposta

Portanto, a probabilidade de ser maior que é ou aproximadamente 0,8333.

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