Suponha que a variável aleatória bidimensional
tenha fdp conjunta
d) Calcule o seguinte:
(1)
.
(1)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória bidimensional
com uma função densidade de probabilidade (fdp) conjunta definida por:
O que a gente precisa calcular é
, ou seja, a probabilidade de
ser maior que
. Para isso, vamos precisar entender como trabalhar com funções de densidade conjunta e marginais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a função densidade marginal de
, que a gente denota por
. A função marginal é obtida integrando a fdp conjunta em relação a
em todo o intervalo possível de
. Então, temos:
Passo 3
Vamos fazer essa integração passo a passo. Primeiro, separemos os termos dentro da integral:
A gente resolve cada integral separadamente:
- Para
, como é constante em relação a :
- Para
:
Passo 4
Agora, somamos os resultados das integrais:
Então, a função densidade marginal de
é:
Passo 5
Com a função marginal de
em mãos, podemos calcular
. Isso significa integrar
de
até 1:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Calculando cada parte:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Agora, somamos os resultados das integrais:
Resposta
Portanto, a probabilidade de
ser maior que
é
ou aproximadamente 0,8333.
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4)
4)