Trace as superfícies de nível das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para a gente traçar as superfícies de nível da função . Isso faz parte do conteúdo de geometria no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender o que são superfícies de nível e como elas representam a função no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma superfície de nível. Basicamente, é o conjunto de pontos que fazem a função igual a uma constante . Ou seja, para cada valor de , temos uma superfície diferente. Matemáticamente, isso fica assim:

Passo 3

Agora, vamos reescrever essa equação para entender melhor a forma da superfície. Vamos multiplicar os dois lados por para simplificar:
Isso nos lembra a equação de uma esfera, que é , onde é o raio da esfera.

Passo 4

Comparando as duas equações, vemos que . Isso significa que o valor de determina o raio da esfera. Porém, precisamos garantir que seja positivo, já que raio negativo não faz sentido. Portanto, precisa ser negativo para termos uma esfera real.

Passo 5

Assim, para cada valor negativo de , a equação representa uma esfera com raio . Se for zero, a superfície de nível seria apenas o ponto , já que todos os quadrados somados dão zero.

Resposta

As superfícies de nível da função são esferas centradas na origem com raio para cada constante . Para , a superfície é o ponto .

Exercícios relacionados

Suponha que a variável aleatória bidimensional tenha fdp conjunta
d) Calcule o seguinte:
(1) .
Faça um esboço dos conjuntos a seguir:
Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
4)
Faça um esboço dos conjuntos a seguir: