Trace as superfícies de nível das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para a gente traçar as superfícies de nível da função
. Isso faz parte do conteúdo de geometria no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender o que são superfícies de nível e como elas representam a função no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma superfície de nível. Basicamente, é o conjunto de pontos
que fazem a função
igual a uma constante
. Ou seja, para cada valor de
, temos uma superfície diferente. Matemáticamente, isso fica assim:
Passo 3
Agora, vamos reescrever essa equação para entender melhor a forma da superfície. Vamos multiplicar os dois lados por
para simplificar:
Isso nos lembra a equação de uma esfera, que é
, onde
é o raio da esfera.
Passo 4
Comparando as duas equações, vemos que
. Isso significa que o valor de
determina o raio da esfera. Porém, precisamos garantir que
seja positivo, já que raio negativo não faz sentido. Portanto,
precisa ser negativo para termos uma esfera real.
Passo 5
Assim, para cada valor negativo de
, a equação
representa uma esfera com raio
. Se
for zero, a superfície de nível seria apenas o ponto
, já que todos os quadrados somados dão zero.
Resposta
As superfícies de nível da função
são esferas centradas na origem com raio
para cada constante
. Para
, a superfície é o ponto
.
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Suponha que a variável aleatória bidimensional
tenha fdp conjunta
d) Calcule o seguinte:
(1) .
(1)
Faça um esboço dos conjuntos a seguir:
Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
4)
4)
Faça um esboço dos conjuntos a seguir: