Calcule a transformada de Laplace:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Laplace da função
. Para isso, vamos usar conceitos de transformada de Laplace, especificamente propriedades que lidam com funções multiplicadas por
. Vamos precisar conhecer a definição da transformada de Laplace e algumas propriedades básicas dela.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é definida por:
Ela transforma uma função do domínio do tempo
para o domínio da frequência
, facilitando a resolução de equações diferenciais, por exemplo.
Passo 3
Agora, precisamos da transformada de Laplace da função
. A função hiperbólica cosseno é definida por:
Sabemos que a transformada de Laplace de
é:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Agora, queremos a transformada de
. Existe uma propriedade da transformada de Laplace que nos ajuda quando a função é multiplicada por
:
Aplicando essa propriedade, temos:
Passo 5
Vamos calcular a derivada:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada fica:
Passo 6
Aplicando a propriedade que usamos no Passo 4, multiplicamos pela
:
Resposta
A transformada de Laplace de
é: