Calcule a transformada de Laplace: f(t) = t cosh(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Laplace da função . Para isso, vamos usar conceitos de transformada de Laplace, especificamente propriedades que lidam com funções multiplicadas por . Vamos precisar conhecer a definição da transformada de Laplace e algumas propriedades básicas dela.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é definida por:
Ela transforma uma função do domínio do tempo para o domínio da frequência , facilitando a resolução de equações diferenciais, por exemplo.

Passo 3

Agora, precisamos da transformada de Laplace da função . A função hiperbólica cosseno é definida por:
Sabemos que a transformada de Laplace de é:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora, queremos a transformada de . Existe uma propriedade da transformada de Laplace que nos ajuda quando a função é multiplicada por :
Aplicando essa propriedade, temos:

Passo 5

Vamos calcular a derivada:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada fica:

Passo 6

Aplicando a propriedade que usamos no Passo 4, multiplicamos pela :

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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