Suponha que a função é representada pela série de potências
Encontre o domínio de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o domínio da função representada por uma série de potências. Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de essa série converge, ou seja, dá um resultado válido. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e, mais especificamente, o Teste da Razão para verificar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura da série:
Podemos reescrever essa série de uma forma mais geral como:
Aqui, cada termo da série é dado por .
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para determinar o intervalo de convergência da série. O teste diz que a série converge se:
Vamos calcular esse limite:
O valor absoluto disso é:
Passo 4
De acordo com o Teste da Razão, para que a série converja, precisamos que:
Isso nos leva à desigualdade:
Multiplicando todos os lados por 3:
E somando 5 em todos os lados:
Então, a série converge para todos os valores de entre 2 e 8.
Passo 5
Porém, devemos verificar os extremos e para ver se a série também converge nesses pontos.
Para :
Essa série é uma soma infinita de 1’s, que claramente diverge.
Para :
Essa é uma série alternada que não converge para um valor específico, também divergindo.