Teste a convergência ou divergência das séries. Justifique suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa testar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e alguns testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série. Observamos que, à medida que
fica bem grande, o termo dominante no denominador
é
. Então, para valores grandes de
, a expressão
se comporta aproximadamente como
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a série
é uma série p que converge se
e diverge se
. No nosso caso, como
, que é maior que 1, a série
converge.
Passo 4
Para confirmar a convergência da nossa série original, podemos usar o Teste da Comparação. Vamos comparar nossa série com a série p mencionada.
Sabemos que para todo
:
Portanto:
Passo 5
Como a série
converge e nossos termos são menores ou iguais aos termos dessa série para todo
, pelo Teste da Comparação, a série original também converge.
Resposta
A série
converge.