Teste a convergência ou divergência das séries. Justifique suas respostas.
sumn=1^infty 1n^3+2 n+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa testar se a série
sumn=1^infty 1n^3 + 2n + 1
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série. Observamos que, à medida que fica bem grande, o termo dominante no denominador é . Então, para valores grandes de , a expressão se comporta aproximadamente como .

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a série é uma série p que converge se e diverge se . No nosso caso, como , que é maior que 1, a série converge.

Passo 4

Para confirmar a convergência da nossa série original, podemos usar o Teste da Comparação. Vamos comparar nossa série com a série p mencionada.
Sabemos que para todo n^3 + 2n + 1 >= n^3 :
1n^3 + 2n + 1 <= 1n^3
Portanto:

Passo 5

Como a série converge e nossos termos são menores ou iguais aos termos dessa série para todo , pelo Teste da Comparação, a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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