Calcule a transformada de Laplace inversa: F(s)=(3s+8)/((s^2+1)(s^2+4))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Laplace inversa de . Isso está ligado ao conteúdo de Transformadas de Laplace, que nos ajuda a passar do domínio da frequência para o domínio do tempo. Para resolver, vamos usar frações parciais, que é uma técnica que quebra uma fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de transformar de volta.

Passo 2

Primeiro, vamos decompôr em frações parciais. Queremos encontrar constantes e tais que:
Isso facilita porque cada termo no lado direito é uma forma que sabemos como transformar de volta para o tempo.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:

Passo 4

Vamos expandir os termos do lado direito:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos poderes de dos dois lados da equação:
Para :
Para :
Para :
Para o termo constante:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. De , temos .
  2. De , temos .
  3. Substituindo na terceira equação: .
  4. Então, .
  5. Substituindo na quarta equação: .
  6. Assim, .

Passo 7

Agora que temos e , substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos separar os termos:
Isso facilita na hora de aplicar a transformada inversa, já que conhecemos as transformadas de cada uma dessas partes.

Passo 9

Vamos lembrar de algumas transformadas inversas básicas:
Usando essas, podemos transformar cada termo.

Passo 10

Aplicando as transformadas inversas:

Passo 11

Agora, juntando tudo:

Resposta

A transformada de Laplace inversa é:

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