Calcule a transformada de Laplace inversa:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Laplace inversa de
. Isso está ligado ao conteúdo de Transformadas de Laplace, que nos ajuda a passar do domínio da frequência para o domínio do tempo. Para resolver, vamos usar frações parciais, que é uma técnica que quebra uma fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de transformar de volta.
Passo 2
Primeiro, vamos decompôr
em frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Isso facilita porque cada termo no lado direito é uma forma que sabemos como transformar de volta para o tempo.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Passo 4
Vamos expandir os termos do lado direito:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos poderes de
dos dois lados da equação:
Para
:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações:
- De
, temos . - De
, temos . - Substituindo
na terceira equação: . - Então,
. - Substituindo
na quarta equação: . - Assim,
.
Passo 7
Agora que temos
e
, substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos separar os termos:
Isso facilita na hora de aplicar a transformada inversa, já que conhecemos as transformadas de cada uma dessas partes.
Passo 9
Vamos lembrar de algumas transformadas inversas básicas:
Usando essas, podemos transformar cada termo.
Passo 10
Aplicando as transformadas inversas:
Passo 11
Agora, juntando tudo:
Resposta
A transformada de Laplace inversa é: