Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, demonstre-a; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
( ) Se a série converge, então ou é absolutamente convergente ou é condicionalmente convergente.
( ) Se a série converge, então ou é absolutamente convergente ou é condicionalmente convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão está falando sobre séries e queremos saber se a afirmação “Se uma série converge, então ou ela é absolutamente convergente ou é condicionalmente convergente” é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são convergência absoluta e condicional de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos refrescar a memória sobre o que é uma série. Uma série é simplesmente a soma de termos de uma sequência, tipo
.
Passo 3
Agora, convergência absoluta significa que se a série dos valores absolutos dos termos converge, ou seja,
converge, então dizemos que a série original
é absolutamente convergente.
Passo 4
Por outro lado, uma série é condicionalmente convergente se ela converge, mas a série dos valores absolutos não. Ou seja,
converge, mas
não converge.
Passo 5
Então, a afirmação está dizendo que toda vez que uma série converge, ela se encaixa em uma dessas duas categorias: ou converge absolutamente ou condicionalmente. Não tem outra opção.
Passo 6
Na matemática, isso é realmente verdade. Basicamente, a definição de convergência absoluta e condicional cobre todas as possibilidades de uma série que converge. Não existe uma terceira opção para uma série que simplesmente converge sem ser isso tudo.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se uma série converge, então ela é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente.