Resolva o PVI, usando transformada de Laplace.
y'' + 2y' + 10y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI) usando a transformada de Laplace. Primeiro, o que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar usar a transformada de Laplace, que transforma equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que:
Onde é a transformada de Laplace de .

Passo 3

Aplicando a transformada:
Substituindo as fórmulas:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos que contêm :
Para resolver para :

Passo 5

O próximo passo é simplificar o denominador. Vamos completar o quadrado para facilitar a inversão da transformada:
Então,

Passo 6

Reconhecemos que a forma da fração corresponde à transformada de Laplace de uma função seno:
Comparando, temos e . Mas no nosso caso, o numerador é 3, que já corresponde ao .

Passo 7

Portanto, aplicando a transformada inversa de Laplace:

Resposta

A solução do PVI é:

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