Resolva o PVI, usando transformada de Laplace.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI) usando a transformada de Laplace. Primeiro, o que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar usar a transformada de Laplace, que transforma equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que:
Onde
é a transformada de Laplace de
.
Passo 3
Aplicando a transformada:
Substituindo as fórmulas:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos agrupar os termos que contêm
:
Para resolver para
:
Passo 5
O próximo passo é simplificar o denominador. Vamos completar o quadrado para facilitar a inversão da transformada:
Então,
Passo 6
Reconhecemos que a forma da fração corresponde à transformada de Laplace de uma função seno:
Comparando, temos
e
. Mas no nosso caso, o numerador é 3, que já corresponde ao
.
Passo 7
Portanto, aplicando a transformada inversa de Laplace:
Resposta
A solução do PVI é: