Diga se as séries abaixo convergem aboslutamente, condicionalmente, o são digergentes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar se a série converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bacana para testar a convergência de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste funciona assim: para a série , calculamos o limite
Se , a série converge absolutamente.
Se ou é infinito, a série diverge.
Se , o teste não é conclusivo e precisamos tentar outro método.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Aqui, L = limn to infty | an+1an | = limn to infty ((n+1)!)^3(3(n+1))! cdot (3n)!(n!)^3 . Então, precisamos calcular:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. Lembrando que L = limn to infty (n+1)^3 cdot (n!)^3(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)(3n)! cdot (3n)!(n!)^3 = limn to infty (n+1)^3(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1) e , substituindo:
Passo 5
Agora, vamos expandir os termos no denominador:
(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1) = 27n^3 + termos de menor grau
E no numerador temos:
(n + 1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1
Portanto, para grandes valores de , o termo predominante no numerador é e no denominador é .
Passo 6
Assim, o limite fica:
L = limn to infty n^327n^3 = 127
Passo 7
Como , de acordo com o Teste da Razão, a série converge absolutamente.