Calcule a Transformada de Laplace da função f(t), usando a definição ou a tabela de transformadas.
f(t) = (1 + e^(2t))^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a Transformada de Laplace da função . Esse tipo de problema está na matéria de Equações Diferenciais e Transformadas, e para resolver vamos usar a tabela de transformadas de Laplace e algumas propriedades básicas dessa transformada.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a função . Isso vai facilitar o uso da tabela de transformadas. A função é:
Vamos expandir esse quadrado:

Passo 3

Agora que a função está expandida, podemos usar a propriedade de linearidade da Transformada de Laplace. Isso significa que a transformada da soma de funções é igual à soma das transformadas das funções individuais. Em outras palavras:

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas transformadas separadamente usando a tabela de transformadas de Laplace.
  1. Transformada de 1:
  1. Transformada de :
Então,
  1. Transformada de :
Usando a mesma fórmula,

Passo 5

Substituindo essas transformadas na expressão que montamos no Passo 3:

Passo 6

Para deixar a resposta mais organizada, podemos combinar os termos sobre um denominador comum, mas não é estritamente necessário a menos que o exercício peça. Assim, nossa Transformada de Laplace da função é:

Resposta

A Transformada de Laplace da função é:

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