Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique: sumn=1^infty(2 n5 n-1)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série sumn=1^infty(2n5n-1)^n é convergente ou divergente. A matéria que vamos usar aqui é Teste da Razão, que nos ajuda a identificar se uma série infinita converge ou não. Precisamos entender como aplicar esse teste e calcular o limite adequado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série sum an, se calcularmos o limite L = limn to infty | an+1an |:
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste não conclui nada e precisamos usar outro método.

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série: an = (2n5n-1)^n. Vamos aplicar o teste da razão:
an+1an = (2(n+1)5(n+1)-1)^n+1(2n5n-1)^n

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, vamos reescrever o denominador:
5(n+1) - 1 = 5n + 5 - 1 = 5n + 4
Então, temos:
an+1an = (2(n+1)5n+4)^n+1 cdot (5n-12n)^n

Passo 5

Simplificando mais, podemos separar os termos:
(2(n+1)5n+4)^n cdot 2(n+1)5n+4 cdot (5n-12n)^n
Isso pode ser reescrito como:
(2(n+1)5n+4 cdot 5n-12n)^n cdot 2(n+1)5n+4

Passo 6

Multiplicando os fatores dentro do parêntese:
2(n+1)(5n - 1)(5n + 4)(2n) = (n+1)(5n - 1)(5n + 4)n
Simplificando os termos:
(n+1)(5n - 1)(5n + 4)n = 5n^2 + 5n - n - 15n^2 + 4n = 5n^2 + 4n - 15n^2 + 4n

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite à medida que n cresce para infinito:
L = limn to infty (5n^2 + 4n - 15n^2 + 4n)^n cdot 2(n+1)5n+4
Observando os termos de maior grau no numerador e denominador:
5n^25n^2 = 1
Então, o primeiro fator tende a 1^infty, que é uma forma indeterminada. Precisamos reescrever para resolver.

Passo 8

Vamos focar no primeiro fator:
(5n^2 + 4n - 15n^2 + 4n)^n = (1 + -15n^2 + 4n)^n
Aplicando a aproximação $ \left(1 + \frac{a}{n}\right)^{n} \approx e^{a}$ quando (1 + an)^n approx e^a tende a infinito:
n

Passo 9

Agora, o segundo fator:
2(n+1)5n+4 = 2n + 25n + 4 = 2 + 2n5 + 4n to 25 quando n to infty

Passo 10

Portanto, o limite total é:
L = 1 cdot 25 = 25 < 1

Resposta

Como o limite L = 25 é menor que 1, segundo o Teste da Razão, a série sumn=1^infty(2n5n-1)^n converge.

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