Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique: sumn=1^infty sin (n)

Passo 1

Vamos lá! A gente tem a série infinita sumn=1^infty sin(n) e precisa descobrir se ela converge (ou seja, se soma a um valor finito) ou se diverge (não tem um valor finito). Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de algo bem importante: para uma série sum an convergir, é necessário que o termo geral an diminua para zero conforme n cresce. Então, nosso primeiro passo é verificar o limite de sin(n) quando n tende ao infinito.

Passo 3

A função seno, sin(n), não se comporta de forma simples quando n cresce. Ela na verdade oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de n. Isso significa que, conforme n fica maior, sin(n) não se aproxima de um único valor; ela continua pulando entre esses dois extremos.

Passo 4

Como sin(n) não está se aproximando de zero (ou de qualquer outro valor específico) quando n cresce, podemos aplicar o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite de an (no nosso caso, sin(n)) não for zero, então a série sum an não converge.

Resposta

A série sumn=1^infty sin(n) é divergente.

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