Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique:
Passo 1
Vamos lá! A gente tem a série infinita
e precisa descobrir se ela converge (ou seja, se soma a um valor finito) ou se diverge (não tem um valor finito). Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de algo bem importante: para uma série
convergir, é necessário que o termo geral
diminua para zero conforme
cresce. Então, nosso primeiro passo é verificar o limite de
quando
tende ao infinito.
Passo 3
A função seno,
, não se comporta de forma simples quando
cresce. Ela na verdade oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de
. Isso significa que, conforme
fica maior,
não se aproxima de um único valor; ela continua pulando entre esses dois extremos.
Passo 4
Como
não está se aproximando de zero (ou de qualquer outro valor específico) quando
cresce, podemos aplicar o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite de
(no nosso caso,
) não for zero, então a série
não converge.
Resposta
A série
é divergente.