Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é limitada superiormente ou inferiormente.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma sequência definida assim: o primeiro termo é
, e cada termo seguinte é calculado por
. O objetivo aqui é mostrar que essa sequência
não cresce infinitamente nem diminui sem limite; ou seja, ela é limitada, seja por um limite superior ou inferior.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser limitada e como identificar esses limites usando as propriedades da sequência dada.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é uma sequência limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que nunca é ultrapassado pelos termos da sequência. Se existe um número maior que todos os termos (limite superior) ou um número menor que todos os termos (limite inferior), a sequência é limitada superiormente ou inferiormente, respectivamente.
No nosso caso, vamos verificar se existe algum limite superior ou inferior para os
.
Passo 3
Vamos começar observando o comportamento da sequência. Sabemos que
. Agora, vamos calcular o próximo termo usando a fórmula dada:
Note que
é sempre positivo, pois está dividido por
, que é um número positivo.
Passo 4
Vamos continuar calculando o próximo termo:
Isso fica um pouco complicado, mas o importante aqui é perceber que cada termo é sempre positivo e depende do termo anterior. Além disso, à medida que avançamos, podemos suspeitar que a sequência está oscilando dentro de certos limites.
Passo 5
Para formalizar isso, vamos tentar encontrar limites superior e inferior para
. Observando a fórmula
, vemos que:
- Se
for muito grande, será pequena, já que estamos dividindo 1 por algo grande. - Se
for pequena, será mais próxima de 1, pois estamos dividindo 1 por algo próximo de 1.
Isso sugere que a sequência está “encostada” entre alguns valores, não permitindo que cresça ou diminua indefinidamente.
Passo 6
Vamos tentar encontrar uma inequação para
:
Isso mostra que todos os termos da sequência são menores que 1, ou seja, 1 é um limite superior para
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar um limite inferior. Sabemos que
é positivo, pois cada divisão envolve números positivos. Assim:
Portanto, 0 é um limite inferior para
.
Passo 8
Com esses limites, concluímos que a sequência
é limitada superiormente por 1 e inferiormente por 0. Ou seja, todos os termos da sequência satisfazem:
Resposta
A sequência
é limitada superiormente por 1 e inferiormente por 0, ou seja,
para todo
.
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.
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