Calcule a transformada de Laplace inversa:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace inversa de . A gente vai usar o conteúdo de Transformadas de Laplace, mais especificamente a técnica de frações parciais. Para isso, precisamos decompor a função dada em partes mais simples que têm transformadas inversas conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais. Queremos escrever como uma soma de frações mais simples. Ou seja:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Vamos expandir e simplificar para encontrar os valores de , e .

Passo 4

Para encontrar , e , podemos escolher valores específicos de que simplifiquem a equação:
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :

Passo 5

Com os valores de , e encontrados, substituímos de volta na decomposição:
Simplificando as frações:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a transformada de Laplace inversa de cada termo separadamente:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Resposta

Juntando tudo, a transformada de Laplace inversa de é:

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Encontre a transformada de Laplace de
Suponha que a função é representada pela série de potências
Encontre e .
Calcule a transformada de Laplace inversa:
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