Calcule a transformada de Laplace inversa:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace inversa de
. A gente vai usar o conteúdo de Transformadas de Laplace, mais especificamente a técnica de frações parciais. Para isso, precisamos decompor a função dada em partes mais simples que têm transformadas inversas conhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais. Queremos escrever
como uma soma de frações mais simples. Ou seja:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Vamos expandir e simplificar para encontrar os valores de
,
e
.
Passo 4
Para encontrar
,
e
, podemos escolher valores específicos de
que simplifiquem a equação:
-
Quando
: -
Quando
: -
Quando
:
Passo 5
Com os valores de
,
e
encontrados, substituímos de volta na decomposição:
Simplificando as frações:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a transformada de Laplace inversa de cada termo separadamente:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Resposta
Juntando tudo, a transformada de Laplace inversa de
é:
Exercícios relacionados
Encontre a transformada de Laplace de
Suponha que a função
é representada pela série de potências
Encontre
e
.
Calcule a transformada de Laplace inversa:
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