Suponha que a função é representada pela série de potências
Encontre e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função representada por uma série de potências:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é uma soma infinita de termos onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a razão da série. Observando a série dada:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, a razão da nossa série geométrica é:

Passo 3

Sabemos que uma série geométrica infinita converge para um valor finito se o valor absoluto da razão for menor que 1. Então, para garantir que a série converge, precisamos que:
Isso significa que a série converge para quando:
Felizmente, tanto quanto estão dentro desse intervalo, então podemos usar a fórmula da soma da série geométrica.

Passo 4

A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
Onde:
  • é a soma da série.
  • é o primeiro termo da série.
  • é a razão da série.
No nosso caso, o primeiro termo , e a razão . Então, a soma da série é:

Passo 5

Agora que temos uma expressão simplificada para , podemos calcular e substituindo os valores de na fórmula:
Para :
Para :

Resposta

e .

Exercícios relacionados

Calcule a transformada de Laplace inversa:
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, demonstre-a; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
( ) Se , então diverge.
Encontre a transformada de Laplace de
Calcule a transformada de Laplace inversa: