Calcule a Transformada de Laplace inversa:
(m)
(m)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a Transformada de Laplace inversa da função
. Isso faz parte da matéria de Transformadas de Laplace, e para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais. Basicamente, vamos quebrar essa função complicada em partes mais simples que a gente já sabe como inverter.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais. A gente tem o denominador
, que tem raízes repetidas. Então, vamos escrever a função assim:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar os dois lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Para achar os valores de
e
, vamos escolher valores estratégicos para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora, vamos expandir e comparar os coeficientes para encontrar
e
. Isso envolve um pouco de álgebra, mas, resumindo, após resolver, encontramos:
Passo 6
Com todos os coeficientes conhecidos, nossa decomposição fica:
Passo 7
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo separadamente. Sabemos que:
Passo 8
Aplicando essas inversas aos termos da nossa decomposição:
Simplificando:
Resposta
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12
Usando a definição, calcule a transformada de Laplace das funções a seguir:
(a)
Usando a definição, calcule a transformada de Laplace das funções a seguir:
(a)
Encontre a solução geral da equação diferencial dada:
(e)
(e)
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(f)
(f)
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(l)
(l)