Calcule a Transformada de Laplace inversa:
(m)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a Transformada de Laplace inversa da função . Isso faz parte da matéria de Transformadas de Laplace, e para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais. Basicamente, vamos quebrar essa função complicada em partes mais simples que a gente já sabe como inverter.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais. A gente tem o denominador , que tem raízes repetidas. Então, vamos escrever a função assim:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar os dois lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Para achar os valores de e , vamos escolher valores estratégicos para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora, vamos expandir e comparar os coeficientes para encontrar e . Isso envolve um pouco de álgebra, mas, resumindo, após resolver, encontramos:

Passo 6

Com todos os coeficientes conhecidos, nossa decomposição fica:

Passo 7

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo separadamente. Sabemos que:

Passo 8

Aplicando essas inversas aos termos da nossa decomposição:
Simplificando:

Resposta

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Usando a definição, calcule a transformada de Laplace das funções a seguir:
(a)
Encontre a solução geral da equação diferencial dada:
(e)
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(f)
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(l)