Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(l)
(l)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A gente precisa resolver uma equação diferencial de quarta ordem usando a Transformada de Laplace. A equação é:
E as condições iniciais são:
Vamos usar a Transformada de Laplace porque ela facilita resolver equações diferenciais, transformando-as em equações algébricas que são mais fáceis de manejar.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada
é dada por:
Onde
é a Transformada de Laplace de
.
Aplicando isso na nossa equação:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada transformada usando as condições iniciais dadas.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Substituindo todas essas transformadas na equação original:
Vamos simplificar cada termo:
-
Termo de
: -
Termo constante:
Então, a equação fica:
Passo 5
Vamos isolar
:
Então,
Passo 6
Observamos que o denominador pode ser fatorado. Na verdade, ele é igual a
. Vamos verificar:
Então,
Passo 7
Agora, precisamos simplificar essa fração para encontrar a transformada inversa. Vamos fazer uma divisão polinomial ou usar frações parciais.
Vamos reescrever o numerador:
Mas, para simplificação, podemos expressar
como:
Passo 8
Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace inversa de
. Sabemos que:
E para termos como
, vamos derivar essa propriedade.
Aplicando isso ao nosso caso, decompondo:
Após realizar as devidas manipulações, obtemos a solução no domínio do tempo.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(f)
(f)
Calcule a Transformada de Laplace inversa:
(m)
(m)
15
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(a) ,
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(a)
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(i)
(i)