Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(l)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A gente precisa resolver uma equação diferencial de quarta ordem usando a Transformada de Laplace. A equação é:
E as condições iniciais são:
Vamos usar a Transformada de Laplace porque ela facilita resolver equações diferenciais, transformando-as em equações algébricas que são mais fáceis de manejar.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Onde é a Transformada de Laplace de .
Aplicando isso na nossa equação:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada transformada usando as condições iniciais dadas.
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 4

Substituindo todas essas transformadas na equação original:
Vamos simplificar cada termo:
  • Termo de :
  • Termo constante:
Então, a equação fica:

Passo 5

Vamos isolar :
Então,

Passo 6

Observamos que o denominador pode ser fatorado. Na verdade, ele é igual a . Vamos verificar:
Então,

Passo 7

Agora, precisamos simplificar essa fração para encontrar a transformada inversa. Vamos fazer uma divisão polinomial ou usar frações parciais.
Vamos reescrever o numerador:
Mas, para simplificação, podemos expressar como:

Passo 8

Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace inversa de . Sabemos que:
E para termos como , vamos derivar essa propriedade.
Aplicando isso ao nosso caso, decompondo:
Após realizar as devidas manipulações, obtemos a solução no domínio do tempo.

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(f)
Calcule a Transformada de Laplace inversa:
(m)
15
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(a) ,
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(i)