Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace! A gente tem:
com as condições iniciais:
Vamos precisar lembrar como aplicar a Transformada de Laplace em derivadas e resolver para
, que é a transformada de
. Depois, vamos pegar a Transformada Inversa para achar
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial:
Passo 3
Vamos lembrar algumas propriedades importantes da Transformada de Laplace:
-
Derivada primeira:
-
Derivada segunda:
-
Transformada de
:
Aplicando essas propriedades:
Substituindo as condições iniciais
e
:
Passo 4
Fatoramos
na equação:
Isolando
:
Passo 5
Vamos simplificar a segunda fração usando frações parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Expandindo e agrupando os termos:
Comparando os coeficientes dos termos correspondentes:
-
: -
: -
: - Termo constante:
Resolvendo:
- De
: - De
: - De
: - De
:
Então:
Passo 6
Substituindo de volta em
:
Agora, vamos separar os termos para facilitar a Transformada Inversa:
Passo 7
Aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
-
Para
: (porque, aqui ) -
Para
: (porque, aqui ) -
Para
: (porque)
Resposta
Então, juntando tudo, a solução é:
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Calcule a Transformada de Laplace inversa:
(m)
(m)
12
Usando a definição, calcule a transformada de Laplace das funções a seguir:
(a)
Usando a definição, calcule a transformada de Laplace das funções a seguir:
(a)
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(l)
(l)
15
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(a) ,
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(a)