Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(f)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace! A gente tem:
com as condições iniciais:
Vamos precisar lembrar como aplicar a Transformada de Laplace em derivadas e resolver para , que é a transformada de . Depois, vamos pegar a Transformada Inversa para achar .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial:

Passo 3

Vamos lembrar algumas propriedades importantes da Transformada de Laplace:
  1. Derivada primeira:
  2. Derivada segunda:
  3. Transformada de :
Aplicando essas propriedades:
Substituindo as condições iniciais e :

Passo 4

Fatoramos na equação:
Isolando :

Passo 5

Vamos simplificar a segunda fração usando frações parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Expandindo e agrupando os termos:
Comparando os coeficientes dos termos correspondentes:
  • :
  • :
  • :
  • Termo constante:
Resolvendo:
  • De :
  • De :
  • De :
  • De :
Então:

Passo 6

Substituindo de volta em :
Agora, vamos separar os termos para facilitar a Transformada Inversa:

Passo 7

Aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
  1. Para :
    (porque , aqui )
  2. Para :
    (porque , aqui )
  3. Para :
    (porque )

Resposta

Então, juntando tudo, a solução é:

Exercícios relacionados

Calcule a Transformada de Laplace inversa:
(m)
12
Usando a definição, calcule a transformada de Laplace das funções a seguir:
(a)
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(l)
15
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(a) ,