Calcule a transformada de Laplace da seguinte função descontínua
f(x) = { 1, se pi <= x < 2 pi; 0, caso contrário }á

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função descontínua definida da seguinte forma:
á
O objetivo é calcular a transformada de Laplace dessa função. Para isso, precisamos lembrar que a transformada de Laplace de uma função é dada por:
Vamos usar essa fórmula para resolver o exercício.

Passo 2

Observando a definição da nossa função , ela é igual a 1 apenas no intervalo de a e zero fora desse intervalo. Isso significa que, ao calcular a transformada de Laplace, a integral vai se restringir a esse intervalo onde a função é diferente de zero.
Portanto, podemos reescrever a transformada de Laplace como:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral:
Para resolver essa integral, usamos a regra de integração para exponenciais:
No nosso caso, . Aplicando a regra, temos:

Passo 4

Simplificando a expressão, multiplicamos numerador e denominador por -1:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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Calcule as derivadas
f(x) = e^(-x / 3)
Considere a função f derivável e que f(-1) = 2 e f'(-1) = 5. Calcule d/dx raiz(x + f(x)) | x = -1
Calcular as derivadas das seguintes funções.
f(x) = raiz(9 + 4*x^4 + x) / 27 + 1 / (3*x^2)
Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial:
2 d^2 xd t^2+d^2 yd t^2=t^2 d^2 xd t^2-d^2 yd t^2=4 t x(0)=2 x^prime(0)=0 y(0)=-1 y^prime(0)=10