Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos resolver uma equação diferencial linear de terceira ordem usando a transformada de Laplace. A equação dada é:
com as condições iniciais:
Para resolver essa equação, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial e utilizar as condições iniciais fornecidas.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembrando que:
Aplicando isso à nossa equação:
Substituindo as transformadas e as condições iniciais:
Considerando , , e :
Simplificando:
Passo 3
Vamos agrupar os termos que contêm :
Isolando :
Passo 4
Vamos simplificar o denominador e fatorar se possível. Primeiro, fatoramos o polinômio :
Tentamos encontrar raízes reais usando o teorema do resto.
Testando :
Então, é um fator. Fazendo a divisão polinomial, obtemos:
Fatorando :
Portanto:
Agora, escrevemos com os fatores:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão no numerador:
Então:
Agora, realizamos a decomposição em frações parciais para facilitar a inversão da transformada de Laplace.
Passo 6
Após realizar a decomposição em frações parciais e simplificar, obtemos:
Resolvendo para os coeficientes , , , e , encontramos:
Portanto:
Passo 7
Aplicamos agora a transformada inversa de Laplace a cada termo: