Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:
l2 y^prime prime prime+3 y^prime prime-3 y^prime-2 y=e^-t y(0)=0 y^prime(0)=0 y^prime prime(0)=1

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos resolver uma equação diferencial linear de terceira ordem usando a transformada de Laplace. A equação dada é:
2 y''' + 3 y'' - 3 y' - 2 y = e^-t
com as condições iniciais:
y(0) = 0, y'(0) = 0, y''(0) = 1
Para resolver essa equação, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial e utilizar as condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembrando que:
Ly^(n)(t) = s^n Y(s) - s^n-1y(0) - s^n-2y'(0) - dots - y^(n-1)(0)
Aplicando isso à nossa equação:
2 Ly''' + 3 Ly'' - 3 Ly' - 2 Ly = Le^-t
Substituindo as transformadas e as condições iniciais:
2 (s^3 Y(s) - s^2 y(0) - s y'(0) - y''(0)) + 3 (s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)) - 3 (s Y(s) - y(0)) - 2 Y(s) = 1s + 1
Considerando y(0) = 0, y'(0) = 0, e y''(0) = 1:
2 (s^3 Y(s) - 0 - 0 - 1) + 3 (s^2 Y(s) - 0 - 0) - 3 (s Y(s) - 0) - 2 Y(s) = 1s + 1
Simplificando:
2 s^3 Y(s) - 2 + 3 s^2 Y(s) - 3 s Y(s) - 2 Y(s) = 1s + 1

Passo 3

Vamos agrupar os termos que contêm Y(s):
(2 s^3 + 3 s^2 - 3 s - 2) Y(s) - 2 = 1s + 1
Isolando Y(s):
(2 s^3 + 3 s^2 - 3 s - 2) Y(s) = 1s + 1 + 2
Y(s) = 1s + 1 + 22 s^3 + 3 s^2 - 3 s - 2

Passo 4

Vamos simplificar o denominador e fatorar se possível. Primeiro, fatoramos o polinômio 2 s^3 + 3 s^2 - 3 s - 2:
Tentamos encontrar raízes reais usando o teorema do resto.
Testando s = 1:
2(1)^3 + 3(1)^2 - 3(1) - 2 = 2 + 3 - 3 - 2 = 0
Então, (s - 1) é um fator. Fazendo a divisão polinomial, obtemos:
2 s^3 + 3 s^2 - 3 s - 2 = (s - 1)(2 s^2 + 5 s + 2)
Fatorando 2 s^2 + 5 s + 2:
2 s^2 + 5 s + 2 = (2 s + 1)(s + 2)
Portanto:
2 s^3 + 3 s^2 - 3 s - 2 = (s - 1)(2 s + 1)(s + 2)
Agora, escrevemos Y(s) com os fatores:
Y(s) = 1s + 1 + 2(s - 1)(2 s + 1)(s + 2)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão no numerador:
1s + 1 + 2 = 1 + 2(s + 1)s + 1 = 1 + 2s + 2s + 1 = 2s + 3s + 1
Então:
Y(s) = 2s + 3(s + 1)(s - 1)(2 s + 1)(s + 2)
Agora, realizamos a decomposição em frações parciais para facilitar a inversão da transformada de Laplace.

Passo 6

Após realizar a decomposição em frações parciais e simplificar, obtemos:
Y(s) = As + 1 + Bs - 1 + C2 s + 1 + Ds + 2
Resolvendo para os coeficientes A, B, C, e D, encontramos:
A = 1, B = 12, C = -1, D = 12
Portanto:
Y(s) = 1s + 1 + 1/2s - 1 - 12 s + 1 + 1/2s + 2

Passo 7

Aplicamos agora a transformada inversa de Laplace a cada termo:
y(t) = L^-11s + 1 + 12 L^-11s - 1 - L^-112 s + 1 + 12 L^-11s + 2
Sabendo que:
L^-11s - a = e^a t
Aplicando isso:
y(t) = e^-t + 12 e^t - 12 e^-t/2 + 12 e^-2 t

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = e^-t + 12 e^t - 12 e^-t/2 + 12 e^-2 t

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