Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos resolver uma equação diferencial linear de terceira ordem usando a transformada de Laplace. A equação dada é:
com as condições iniciais:
Para resolver essa equação, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial e utilizar as condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembrando que:
Aplicando isso à nossa equação:
Substituindo as transformadas e as condições iniciais:
Considerando , , e :
Simplificando:

Passo 3

Vamos agrupar os termos que contêm :
Isolando :

Passo 4

Vamos simplificar o denominador e fatorar se possível. Primeiro, fatoramos o polinômio :
Tentamos encontrar raízes reais usando o teorema do resto.
Testando :
Então, é um fator. Fazendo a divisão polinomial, obtemos:
Fatorando :
Portanto:
Agora, escrevemos com os fatores:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão no numerador:
Então:
Agora, realizamos a decomposição em frações parciais para facilitar a inversão da transformada de Laplace.

Passo 6

Após realizar a decomposição em frações parciais e simplificar, obtemos:
Resolvendo para os coeficientes , , , e , encontramos:
Portanto:

Passo 7

Aplicamos agora a transformada inversa de Laplace a cada termo:
Sabendo que:
Aplicando isso:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Use a definição da transformada de Laplace para determinar em cada item.
Escreva cada uma das funções em termos de funções de degrau unitário e ache a transformada de Laplace da função dada.
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