Escreva cada uma das funções em termos de funções de degrau unitário e ache a transformada de Laplace da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever a função dada usando funções de degrau unitário e depois encontrar a transformada de Laplace dessa função. A função que temos é:
Vamos precisar entender como representar essa função com funções de degrau unitário (também conhecidas como funções de Heaviside) e usar as propriedades da transformada de Laplace para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função usando a função de degrau unitário, . A função vale 1 quando e 0 quando . Para “ligar” a função a partir de e “desligar” em , fazemos o seguinte:
Aqui, liga a função a partir de , e desliga a função a partir de .
Passo 3
Agora, vamos calcular a transformada de Laplace de . A transformada de Laplace de uma função é dada por:
Como temos duas partes na nossa função, vamos separar:
Transformada de :
Sabemos que:
Transformada de :
Usando a propriedade de deslocamento no tempo:
Então:
Resposta
Juntando tudo, a transformada de Laplace da função é: