Escreva cada uma das funções em termos de funções de degrau unitário e ache a transformada de Laplace da função dada.
f(t) = { sen, se 0 <= t < 2 pi; 0, se t >= 2 pi }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever a função dada usando funções de degrau unitário e depois encontrar a transformada de Laplace dessa função. A função que temos é:
Vamos precisar entender como representar essa função com funções de degrau unitário (também conhecidas como funções de Heaviside) e usar as propriedades da transformada de Laplace para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função f(t) usando a função de degrau unitário, u(t). A função u(t) vale 1 quando t ≥ 0 e 0 quando . Para “ligar” a função a partir de e “desligar” em , fazemos o seguinte:
Aqui, u(t) liga a função a partir de , e desliga a função a partir de .

Passo 3

Agora, vamos calcular a transformada de Laplace de f(t). A transformada de Laplace de uma função f(t) é dada por:
Como temos duas partes na nossa função, vamos separar:
  1. Transformada de :
    Sabemos que:
  2. Transformada de :
    Usando a propriedade de deslocamento no tempo:
    Então:

Resposta

Juntando tudo, a transformada de Laplace da função f(t) é:

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