Escreva cada uma das funções em termos de funções de degrau unitário e ache a transformada de Laplace da função dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever a função dada usando funções de degrau unitário e depois encontrar a transformada de Laplace dessa função. A função que temos é:
Vamos precisar entender como representar essa função com funções de degrau unitário (também conhecidas como funções de Heaviside) e usar as propriedades da transformada de Laplace para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função usando a função de degrau unitário, . A função vale 1 quando e 0 quando . Para “ligar” a função a partir de e “desligar” em , fazemos o seguinte:
Aqui, liga a função a partir de , e desliga a função a partir de .

Passo 3

Agora, vamos calcular a transformada de Laplace de . A transformada de Laplace de uma função é dada por:
Como temos duas partes na nossa função, vamos separar:
  1. Transformada de :
    Sabemos que:
  2. Transformada de :
    Usando a propriedade de deslocamento no tempo:
    Então:

Resposta

Juntando tudo, a transformada de Laplace da função é:

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Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
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