Escreva cada uma das funções em termos de funções de degrau unitário e ache a transformada de Laplace da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever a função dada usando funções de degrau unitário e depois encontrar a transformada de Laplace dessa função. A função que temos é:
Vamos precisar entender como representar essa função com funções de degrau unitário (também conhecidas como funções de Heaviside) e usar as propriedades da transformada de Laplace para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
usando a função de degrau unitário,
. A função
vale 1 quando
e 0 quando
. Para “ligar” a função
a partir de
e “desligar” em
, fazemos o seguinte:
Aqui,
liga a função
a partir de
, e
desliga a função
a partir de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a transformada de Laplace de
. A transformada de Laplace de uma função
é dada por:
Como temos duas partes na nossa função, vamos separar:
-
Transformada de
: Sabemos que: -
Transformada de
: Usando a propriedade de deslocamento no tempo:Então:
Resposta
Juntando tudo, a transformada de Laplace da função
é: