Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você pediu pra calcular a transformada de Laplace da função . A matéria aqui é Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Vamos precisar usar as propriedades das transformadas de funções trigonométricas e um pouco da identidade trigonométrica da soma de ângulos para simplificar a função antes de transformar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função é uma soma de ângulos. A gente pode usar a identidade trigonométrica:
Aplicando isso na nossa função, onde e :
Passo 3
Agora que a função está expandida, podemos usar a propriedade da linearidade da Transformada de Laplace, que permite transformar cada termo separadamente. Ou seja:
Como e são constantes, elas saem da transformada:
Passo 4
Agora, vamos lembrar das transformadas de Laplace das funções seno e cosseno:
Aqui, . Substituindo na fórmula:
Passo 5
Substituindo essas transformadas de volta na nossa expressão anterior: