Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu pra calcular a transformada de Laplace da função . A matéria aqui é Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Vamos precisar usar as propriedades das transformadas de funções trigonométricas e um pouco da identidade trigonométrica da soma de ângulos para simplificar a função antes de transformar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função é uma soma de ângulos. A gente pode usar a identidade trigonométrica:
Aplicando isso na nossa função, onde e :

Passo 3

Agora que a função está expandida, podemos usar a propriedade da linearidade da Transformada de Laplace, que permite transformar cada termo separadamente. Ou seja:
Como e são constantes, elas saem da transformada:

Passo 4

Agora, vamos lembrar das transformadas de Laplace das funções seno e cosseno:
Aqui, . Substituindo na fórmula:

Passo 5

Substituindo essas transformadas de volta na nossa expressão anterior:
Podemos unir os termos sobre o mesmo denominador:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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Use a definição da transformada de Laplace para determinar em cada item.
Escreva cada uma das funções em termos de funções de degrau unitário e ache a transformada de Laplace da função dada.
Calcule as transformadas de Laplace inversas:
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