Escreva cada uma das funções em termos de funções de degrau unitário e ache a transformada de Laplace da função dada.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes e precisamos reescrevê-la usando funções de degrau unitário (também conhecidas como funções Heaviside). Depois, vamos calcular a Transformada de Laplace dessa função. Para isso, vamos precisar saber o que são funções de degrau e como aplicar a Transformada de Laplace em funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever em termos de funções de degrau unitário.
A função degrau unitário, , é igual a 0 para e igual a 1 para .
Observando :
Para ,
Para ,
Para ,
Podemos expressar isso usando funções de degrau:
Explicando cada termo:
ativa a função a partir de .
desativa a função a partir de .
reativa a função a partir de .
Passo 3
Agora, vamos calcular a Transformada de Laplace de .
Sabemos que a Transformada de Laplace de é dada por:
Aplicando isso a cada termo de :
Calculando cada transformada:
Substituindo de volta na expressão de :
Simplificando, podemos colocar todos os termos sobre o mesmo denominador: