Use a definição da transformada de Laplace para determinar
em cada item.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a definição da transformada de Laplace para encontrar
da função
que é definida por partes:
Vamos precisar entender a definição da transformada de Laplace e como ela se aplica a funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela transforma uma função no tempo
em uma função no domínio da frequência
. A definição é:
Onde
é um número complexo. Nosso objetivo é calcular essa integral para a função
dada.
Passo 3
Como a função
é definida por partes, vamos dividir a integral em dois intervalos onde a função tem expressões diferentes:
- De
a , - De
ao infinito,
Então, a transformada de Laplace fica:
Passo 4
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira Integral:
A integral de
em relação a
é
, então:
Segunda Integral:
Integrando, temos:
Passo 5
Agora, somamos as duas integrais que calculamos:
Vamos simplificar essa expressão:
Resposta
A transformada de Laplace de
é:
Exercícios relacionados
Escreva cada uma das funções em termos de funções de degrau unitário e ache a transformada de Laplace da função dada.
Calcule:
Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
Calcule as transformadas de Laplace inversas: