Use a definição da transformada de Laplace para determinar L{f(t)} em cada item.
f(t) = {-1 se 0 <= t < 1; 1 se t >= 1}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a definição da transformada de Laplace para encontrar da função que é definida por partes:
Vamos precisar entender a definição da transformada de Laplace e como ela se aplica a funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela transforma uma função no tempo em uma função no domínio da frequência . A definição é:
Onde é um número complexo. Nosso objetivo é calcular essa integral para a função dada.

Passo 3

Como a função é definida por partes, vamos dividir a integral em dois intervalos onde a função tem expressões diferentes:
  1. De a ,
  2. De ao infinito,
Então, a transformada de Laplace fica:

Passo 4

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira Integral:
A integral de em relação a é , então:
Segunda Integral:
Integrando, temos:

Passo 5

Agora, somamos as duas integrais que calculamos:
Vamos simplificar essa expressão:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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