Calcule as transformadas inversas das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos calcular a transformada inversa de
. Estamos lidando com transformadas de Laplace, uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais para decompor a fração que temos em partes mais simples que conhecemos a transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor
em frações parciais. Observando o denominador, temos fatores repetidos e quadráticos:
Vamos supor que isso possa ser escrito como:
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos expandir e resolver para os coeficientes
,
,
e
. Substituindo valores estratégicos de
ajuda a simplificar:
- Para
:
- Comparando os coeficientes dos termos de menor grau:
Após expandir totalmente a equação, igualamos os coeficientes correspondentes para resolver os valores restantes de
,
e
. Após os cálculos, encontramos:
Passo 4
Agora que temos os valores de
,
,
e
, podemos reescrever a expressão original em termos de frações parciais:
Simplificando:
Passo 5
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separado:
Substituindo de volta: