Calcule as transformadas inversas das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos calcular a transformada inversa de . Estamos lidando com transformadas de Laplace, uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais para decompor a fração que temos em partes mais simples que conhecemos a transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor em frações parciais. Observando o denominador, temos fatores repetidos e quadráticos:
Vamos supor que isso possa ser escrito como:

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos expandir e resolver para os coeficientes , , e . Substituindo valores estratégicos de ajuda a simplificar:
  1. Para :
  1. Comparando os coeficientes dos termos de menor grau:
Após expandir totalmente a equação, igualamos os coeficientes correspondentes para resolver os valores restantes de , e . Após os cálculos, encontramos:

Passo 4

Agora que temos os valores de , , e , podemos reescrever a expressão original em termos de frações parciais:
Simplificando:

Passo 5

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separado:
Substituindo de volta:

Resposta

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Determine as transformadas de Laplace das funções definidas pelas seguintes expressões analíticas:
Use o operador transformada de Laplace para determinar as soluções dos seguintes problemas de valores iniciais:
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