Use o operador transformada de Laplace para determinar as soluções dos seguintes problemas de valores iniciais:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O problema pede para resolver uma equação diferencial usando a transformada de Laplace. A equação é:
Com as condições iniciais:
Então, vamos precisar usar a transformada de Laplace para transformar essa equação diferencial em algo mais fácil de resolver, e depois aplicar a transformada inversa para encontrar a solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em todos os termos da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Aplicando isso na nossa equação:

Passo 3

Substituindo as transformadas das derivadas e as condições iniciais:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos juntar os termos que contêm Y(s):
Isolando Y(s):

Passo 5

Vamos fatorar o denominador quadrático:
Então, substituindo de volta:
Agora, vamos decompor em frações parciais para facilitar a inversão da transformada:
Primeira fração:
Resolvendo para A, B e C, encontramos:
Então:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo:
Então, juntando tudo:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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