Encontre a área delimitada pelas retas e curvas dadas: A parábola e a reta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve encontrar a área delimitada pela parábola e a reta . A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente o cálculo de áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas e, em seguida, calcular a integral da diferença entre elas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a parábola e a reta se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo da primeira equação na segunda:
Resolvendo essa equação quadrática para :
Então, temos duas soluções:
Agora, encontramos os valores correspondentes de :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora que temos os pontos de interseção, vamos determinar qual das curvas está acima da outra no intervalo de integração. Observando as equações:
á
Podemos reescrever a parábola em termos de :
Mas para facilitar, vamos integrar em termos de , já que isso simplifica a expressão. A área pode ser calculada pela integral da diferença entre as funções de :
á
Onde:
á

Passo 4

Vamos agora configurar a integral com os limites de que vão de a :
Agora, calculamos a integral:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Então, a área é:
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:

Resposta

A área delimitada pelas curvas é unidades quadradas.

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