Determine as transformadas de Laplace das funções definidas pelas seguintes expressões analíticas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a Transformada de Laplace da função . Basicamente, vamos usar conceitos de Transformada de Laplace, que é uma ferramenta super útil na matemática para transformar funções do tempo para o domínio da frequência . Para resolver isso, vamos precisar lembrar da fórmula da Transformada de Laplace para funções que são produtos de exponenciais e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de como é definida a Transformada de Laplace. Para uma função , a Transformada de Laplace é dada por:
No nosso caso, . Vamos substituir isso na definição:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Lembre-se que . Então, temos:

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar uma fórmula padrão da Transformada de Laplace que lida com exponenciais multiplicadas por cossenos. A fórmula é:
Aqui, e na nossa função.

Passo 5

Substituindo os valores de e na fórmula, temos:
Vamos simplificar ainda mais:

Resposta

A Transformada de Laplace da função é:

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