Use o operador transformada de Laplace para determinar as soluções dos seguintes problemas de valores iniciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace! O enunciado nos dá uma equação do segundo grau com condições iniciais. Precisamos encontrar a função que satisfaz:
com
Para isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, transformando-as em álgebra mais fácil de manejar.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada da derivada é dada por:
Aplicando isso na nossa equação:
Substituindo pelas expressões das derivadas:
Passo 3
Agora, vamos substituir as condições iniciais e na equação:
Simplificando:
Passo 4
Fatorando na equação:
Agora, vamos resolver para :
Passo 5
Vamos fatorar o denominador . Procuramos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão -1. Esses números são -2 e 1:
Substituindo na expressão de :
Passo 6
Agora, vamos decompor em frações parciais para facilitar a inversão da Transformada de Laplace:
Multiplicando ambos os lados por :
Passo 7
Para encontrar os valores de , podemos escolher valores de que simplificam a equação:
Para :
Para :
Para :
Para encontrar , podemos escolher :
Simplificando:
Passo 8
Agora, substituímos os valores de na decomposição:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa para encontrar :