Use o operador transformada de Laplace para determinar as soluções dos seguintes problemas de valores iniciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace! O enunciado nos dá uma equação do segundo grau com condições iniciais. Precisamos encontrar a função que satisfaz:
com
Para isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, transformando-as em álgebra mais fácil de manejar.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada da derivada é dada por:
Aplicando isso na nossa equação:
Substituindo pelas expressões das derivadas:

Passo 3

Agora, vamos substituir as condições iniciais e na equação:
Simplificando:

Passo 4

Fatorando na equação:
Agora, vamos resolver para :

Passo 5

Vamos fatorar o denominador . Procuramos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão -1. Esses números são -2 e 1:
Substituindo na expressão de :

Passo 6

Agora, vamos decompor em frações parciais para facilitar a inversão da Transformada de Laplace:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Para encontrar os valores de , podemos escolher valores de que simplificam a equação:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para encontrar , podemos escolher :
Simplificando:

Passo 8

Agora, substituímos os valores de na decomposição:
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa para encontrar :
Aplicando isso:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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