Calcule as transformadas inversas das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a transformada inversa da função
. Vamos usar conceitos de transformadas de Laplace, especificamente a tradução de funções no domínio de
para o domínio do tempo
. Precisaremos conhecer algumas transformadas inversas básicas e propriedades como a convolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar uma transformada básica de Laplace: sabemos que
Então, nossa função
pode ser escrita como
Isso indica que estamos lidando com o quadrado de uma transformada de Laplace conhecida.
Passo 3
Para encontrar a transformada inversa de
, podemos usar a propriedade de convolução das transformadas de Laplace. A propriedade diz que o produto de duas transformadas de Laplace corresponde à convolução das suas transformadas inversas no domínio do tempo. Então,
Passo 4
Vamos calcular a convolução
. A convolução de duas funções
e
é dada por:
Aplicando isso às nossas funções:
Passo 5
Para resolver a integral, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso na integral:
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Resposta
A transformada inversa de
é: