Calcule as transformadas inversas das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a transformada inversa da função . Vamos usar conceitos de transformadas de Laplace, especificamente a tradução de funções no domínio de para o domínio do tempo . Precisaremos conhecer algumas transformadas inversas básicas e propriedades como a convolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar uma transformada básica de Laplace: sabemos que
Então, nossa função pode ser escrita como
Isso indica que estamos lidando com o quadrado de uma transformada de Laplace conhecida.
Passo 3
Para encontrar a transformada inversa de , podemos usar a propriedade de convolução das transformadas de Laplace. A propriedade diz que o produto de duas transformadas de Laplace corresponde à convolução das suas transformadas inversas no domínio do tempo. Então,
Passo 4
Vamos calcular a convolução . A convolução de duas funções e é dada por:
Aplicando isso às nossas funções:
Passo 5
Para resolver a integral, usamos a identidade trigonométrica: