Calcule as transformadas inversas das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a transformada inversa da função . Vamos usar conceitos de transformadas de Laplace, especificamente a tradução de funções no domínio de para o domínio do tempo . Precisaremos conhecer algumas transformadas inversas básicas e propriedades como a convolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma transformada básica de Laplace: sabemos que
Então, nossa função pode ser escrita como
Isso indica que estamos lidando com o quadrado de uma transformada de Laplace conhecida.

Passo 3

Para encontrar a transformada inversa de , podemos usar a propriedade de convolução das transformadas de Laplace. A propriedade diz que o produto de duas transformadas de Laplace corresponde à convolução das suas transformadas inversas no domínio do tempo. Então,

Passo 4

Vamos calcular a convolução . A convolução de duas funções e é dada por:
Aplicando isso às nossas funções:

Passo 5

Para resolver a integral, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso na integral:
Integrando termo a termo:
Simplificando:

Resposta

A transformada inversa de é:

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Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
Determine a solução dos seguintes problemas de valores iniciais:
Calcule as transformadas inversas das seguintes funções:
Use o operador transformada de Laplace para determinar as soluções dos seguintes problemas de valores iniciais: