Determine a solução dos seguintes problemas de valores iniciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo envolve equações diferenciais lineares e valores iniciais. Para resolver, vamos precisar usar a transformada de Laplace e conhecer um pouco sobre funções por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial que temos:
y'' + 4y = f(t)
Com as condições iniciais:
y(0) = 3 e y'(0) = -2
E a função f(t) = 1, & 0 <= t < 4 0, & t >= 4 é definida por partes:
Isso significa que a força que atua na equação muda no tempo .
Passo 3
Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a transformada de Laplace transforma uma equação diferencial no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.
Aplicando a transformada:
Ly'' + 4Ly = Lf(t)
Sabemos que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
E .
Passo 4
Substituindo as transformadas na equação:
s^2 Y(s) - s cdot 3 - (-2) + 4Y(s) = Lf(t)
Simplificando:
(s^2 + 4)Y(s) - 3s + 2 = Lf(t)
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a transformada de Lf(t) = 1 - e^-4ss . Como é uma função por partes, usamos a propriedade da transformada de Laplace para funções descontínuas:
Agora, precisamos encontrar a transformada inversa para obter Y(s) = 3s^2 - 2s + 1s(s^2 + 4) - e^-4ss(s^2 + 4) . Vamos separar a fração:
Isso nos dá duas partes para transformar de volta para o domínio do tempo.
Passo 8
Primeiro, considere:
3s^2 - 2s + 1s(s^2 + 4) = As + Bs + Cs^2 + 4
Resolvendo as constantes A, B e C por frações parciais, encontramos:
A = 3s^2 - 2s + 1s^2 + 4 assim, A = 1
E:
Bs + C = 2s + 1 logo, B = 2 e C = 1
Então:
3s^2 - 2s + 1s(s^2 + 4) = 1s + 2s + 1s^2 + 4
Passo 9
Agora, aplicando a transformada inversa:
L^-11s = 1
L^-12ss^2 + 4 = 2cos(2t)
L^-11s^2 + 4 = 12sin(2t)
Então, a primeira parte da solução é:
y1(t) = 1 + 2cos(2t) + 12sin(2t)
Passo 10
Para a segunda parte, temos:
L^-1e^-4ss(s^2 + 4)
Isso representa a função que começa em y2(t) = u(t - 4)[1 + 2cos(2(t - 4)) + 12sin(2(t - 4))] , então usamos a propriedade de atraso (teorema de deslocamento):
Onde é a função degrau de Heaviside que ativa a expressão a partir de .