Determine a solução dos seguintes problemas de valores iniciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo envolve equações diferenciais lineares e valores iniciais. Para resolver, vamos precisar usar a transformada de Laplace e conhecer um pouco sobre funções por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial que temos:
Com as condições iniciais:
E a função é definida por partes:
Isso significa que a força que atua na equação muda no tempo .
Passo 3
Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a transformada de Laplace transforma uma equação diferencial no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.
Aplicando a transformada:
Sabemos que:
E .
Passo 4
Substituindo as transformadas na equação:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a transformada de . Como é uma função por partes, usamos a propriedade da transformada de Laplace para funções descontínuas:
Isso porque até e depois é zero.
Passo 6
Substituindo de volta na equação:
Vamos resolver para :
Simplificando:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar a transformada inversa para obter . Vamos separar a fração:
Isso nos dá duas partes para transformar de volta para o domínio do tempo.
Passo 8
Primeiro, considere:
Resolvendo as constantes A, B e C por frações parciais, encontramos:
E:
Então:
Passo 9
Agora, aplicando a transformada inversa:
Então, a primeira parte da solução é:
Passo 10
Para a segunda parte, temos:
Isso representa a função que começa em , então usamos a propriedade de atraso (teorema de deslocamento):
Onde é a função degrau de Heaviside que ativa a expressão a partir de .