Determine a solução dos seguintes problemas de valores iniciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo envolve equações diferenciais lineares e valores iniciais. Para resolver, vamos precisar usar a transformada de Laplace e conhecer um pouco sobre funções por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial que temos:
Com as condições iniciais:
E a função é definida por partes:
Isso significa que a força que atua na equação muda no tempo .

Passo 3

Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a transformada de Laplace transforma uma equação diferencial no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.
Aplicando a transformada:
Sabemos que:
E .

Passo 4

Substituindo as transformadas na equação:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a transformada de . Como é uma função por partes, usamos a propriedade da transformada de Laplace para funções descontínuas:
Isso porque até e depois é zero.

Passo 6

Substituindo de volta na equação:
Vamos resolver para :
Simplificando:

Passo 7

Agora, precisamos encontrar a transformada inversa para obter . Vamos separar a fração:
Isso nos dá duas partes para transformar de volta para o domínio do tempo.

Passo 8

Primeiro, considere:
Resolvendo as constantes A, B e C por frações parciais, encontramos:
E:
Então:

Passo 9

Agora, aplicando a transformada inversa:
Então, a primeira parte da solução é:

Passo 10

Para a segunda parte, temos:
Isso representa a função que começa em , então usamos a propriedade de atraso (teorema de deslocamento):
Onde é a função degrau de Heaviside que ativa a expressão a partir de .

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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