Use o operador transformada de Laplace para determinar as soluções dos seguintes problemas de valores iniciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace! O enunciado nos dá uma equação de segunda ordem com condições iniciais. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace nas derivadas e resolver a equação algébrica resultante para encontrar a solução de .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembrando que:
Onde é a Transformada de Laplace de .

Passo 3

Substituindo na equação original:

Passo 4

Agora, plugamos as condições iniciais e :

Passo 5

Agrupamos os termos com :

Passo 6

Fatoramos o denominador:

Passo 7

Aplicamos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar e , escolhemos valores de :
  • Se :
  • Se :

Passo 8

Agora, substituímos e :

Passo 9

Aplicamos a Transformada de Laplace inversa:

Resposta

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