Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada de Laplace da função . A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace e algumas propriedades de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é definida a transformada de Laplace. Para uma função , a Transformada de Laplace é dada por:
No nosso caso, , então substituímos na fórmula:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Multiplicando os termos exponenciais:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos dividir a integral em duas partes:
Sabemos que a integral é conhecida como a função logarítmica integral, e ela resulta em , desde que e .
Passo 5
Aplicando essa propriedade às duas integrais, temos:
Assumindo que para garantir a convergência das integrais.