Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
h(t) = (e^(a t) - e^(-a t)) / t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada de Laplace da função . A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace e algumas propriedades de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é definida a transformada de Laplace. Para uma função , a Transformada de Laplace é dada por:
No nosso caso, , então substituímos na fórmula:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Multiplicando os termos exponenciais:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos dividir a integral em duas partes:
Sabemos que a integral é conhecida como a função logarítmica integral, e ela resulta em , desde que e .

Passo 5

Aplicando essa propriedade às duas integrais, temos:
Assumindo que para garantir a convergência das integrais.

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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