Calcule as transformadas inversas das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as transformadas inversas de duas funções dadas por . Vamos usar os conceitos de transformada de Laplace, que nos ajudam a passar do domínio para o tempo .

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em duas partes para facilitar a resolução:

Passo 3

Vamos calcular a transformada inversa da primeira parte: .
Sabemos que a transformada inversa de é . Aqui, e .
Aplicando a fórmula:

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda parte: .
Primeiro, simplificamos o denominador:
Simplificando, temos:
Podemos reescrever isso para facilitar o reconhecimento da transformada inversa, completando o quadrado ou identificando uma forma conhecida. Observamos que essa expressão se parece com a transformada de hiperbolic functions ou exponenciais combinadas.
Sabemos que:
Identificando e , pois:

Passo 5

Aplicando a fórmula acima:

Resposta

A transformada inversa de é:

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Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
Use o operador transformada de Laplace para determinar as soluções dos seguintes problemas de valores iniciais:
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