Calcule as transformadas inversas das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as transformadas inversas de duas funções dadas por
. Vamos usar os conceitos de transformada de Laplace, que nos ajudam a passar do domínio
para o tempo
.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função
em duas partes para facilitar a resolução:
Passo 3
Vamos calcular a transformada inversa da primeira parte:
.
Sabemos que a transformada inversa de
é
. Aqui,
e
.
Aplicando a fórmula:
Passo 4
Agora, vamos resolver a segunda parte:
.
Primeiro, simplificamos o denominador:
Simplificando, temos:
Podemos reescrever isso para facilitar o reconhecimento da transformada inversa, completando o quadrado ou identificando uma forma conhecida. Observamos que essa expressão se parece com a transformada de hiperbolic functions ou exponenciais combinadas.
Sabemos que:
Identificando
e
, pois:
Passo 5
Aplicando a fórmula acima:
Resposta
A transformada inversa de
é:
Exercícios relacionados
Calcule as transformadas inversas das seguintes funções:
Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
Use o operador transformada de Laplace para determinar as soluções dos seguintes problemas de valores iniciais:
Use o operador transformada de Laplace para determinar as soluções dos seguintes problemas de valores iniciais: