Use o operador transformada de Laplace para determinar as soluções dos seguintes problemas de valores iniciais:
l y^(4)-k^4 y=0, t >= 0 y(0)=1 y^prime(0)=y^prime prime(0)=y^prime prime prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de quarta ordem com algumas condições iniciais. O conteúdo principal aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos condições iniciais dadas. Vamos precisar entender como transformar a equação diferencial para o domínio da frequência usando a Transformada de Laplace e depois voltar para o domínio do tempo para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar a equação diferencial e as condições iniciais:
l y^(4) - k^4 y = 0, t >= 0 y(0) = 1 y^prime(0) = y^prime prime(0) = y^prime prime prime(0) = 0
Queremos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Ly^(n)(t) = s^n Y(s) - s^n-1 y(0) - s^n-2 y'(0) - dots - y^(n-1)(0)
Onde é a Transformada de Laplace de .

Passo 3

Vamos aplicar a Transformada de Laplace na equação Ly^(4) - k^4 Ly = 0 :
s^4 Y(s) - s^3 y(0) - s^2 y'(0) - s y''(0) - y'''(0) - k^4 Y(s) = 0
Substituindo pela expressão da derivada:

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais:
  • s^4 Y(s) - s^3(1) - s^2(0) - s(0) - (0) - k^4 Y(s) = 0
  • s^4 Y(s) - s^3 - k^4 Y(s) = 0
Substituindo esses valores na equação:
Simplificando:

Passo 5

Vamos isolar Y(s)(s^4 - k^4) = s^3 :
Y(s) = s^3s^4 - k^4
Então:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão de s^4 - k^4 = (s^2 + k^2)(s^2 - k^2) = (s^2 + k^2)(s + k)(s - k) . Podemos fatorar o denominador:
Y(s) = s^3(s^2 + k^2)(s + k)(s - k)
Então:

Passo 7

Para facilitar a inversão da Transformada de Laplace, vamos simplificar Y(s) = s^3(s^2 - k^2)(s^2 + k^2) :
Observando que Y(s) = s^3(s^2 - k^2)(s^2 + k^2) = ss^2 + k^2 , podemos reescrever como:
Podemos dividir pelo denominador:

Passo 8

Agora, vamos usar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar L^-1ss^2 + k^2 = cos(k t) :
Sabemos que:

Resposta

Portanto, a solução da equação diferencial é:
y(t) = cos(k t)

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