Use o operador transformada de Laplace para determinar as soluções dos seguintes problemas de valores iniciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de quarta ordem com algumas condições iniciais. O conteúdo principal aqui é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos condições iniciais dadas. Vamos precisar entender como transformar a equação diferencial para o domínio da frequência usando a Transformada de Laplace e depois voltar para o domínio do tempo para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar a equação diferencial e as condições iniciais:
Queremos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Onde é a Transformada de Laplace de .

Passo 3

Vamos aplicar a Transformada de Laplace na equação :
Substituindo pela expressão da derivada:

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais:
Substituindo esses valores na equação:
Simplificando:

Passo 5

Vamos isolar :
Então:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão de . Podemos fatorar o denominador:
Então:

Passo 7

Para facilitar a inversão da Transformada de Laplace, vamos simplificar :
Observando que , podemos reescrever como:
Podemos dividir pelo denominador:

Passo 8

Agora, vamos usar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar :
Sabemos que:

Resposta

Portanto, a solução da equação diferencial é:

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Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
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