calcule as transformadas de Laplace inversa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é a tarefa de encontrar a transformada de Laplace inversa de uma função específica: . Isso está relacionado ao conteúdo de Transformadas de Laplace, que é uma poderosa ferramenta para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades das transformadas de Laplace e como aplicá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a transformada de Laplace inversa nos ajuda a passar do domínio da frequência (s) de volta para o domínio do tempo (t). A função que queremos transformar de volta é .
Sabemos que a transformada de Laplace de é . Agora, nossa função é o quadrado dessa expressão no denominador, ou seja, .

Passo 3

Uma estratégia para encontrar a transformada inversa de é usar a propriedade de convolução das transformadas de Laplace. A convolução no domínio do tempo corresponde à multiplicação no domínio de s.
Seja , cuja transformada inversa é . Então, a transformada inversa de será a convolução de com ele mesmo:

Passo 4

Vamos calcular essa integral de convolução:
Podemos usar uma identidade trigonométrica para simplificar essa expressão:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos calcular cada parte da integral separadamente:
Primeiro, :
Fazendo uma substituição , temos ou . Alterando os limites:
Quando , ;
Quando , .
Assim:
Agora, a segunda parte da integral:

Passo 6

Juntando tudo, temos:
Portanto, a transformada de Laplace inversa de é:

Resposta

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usando a definição de Transformada de Laplace, mostre que:
calcule as transformadas de Laplace.
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