calcule as transformadas de Laplace inversa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é a tarefa de encontrar a transformada de Laplace inversa de uma função específica:
. Isso está relacionado ao conteúdo de Transformadas de Laplace, que é uma poderosa ferramenta para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades das transformadas de Laplace e como aplicá-las passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a transformada de Laplace inversa nos ajuda a passar do domínio da frequência (s) de volta para o domínio do tempo (t). A função que queremos transformar de volta é
.
Sabemos que a transformada de Laplace de
é
. Agora, nossa função é o quadrado dessa expressão no denominador, ou seja,
.
Passo 3
Uma estratégia para encontrar a transformada inversa de
é usar a propriedade de convolução das transformadas de Laplace. A convolução no domínio do tempo corresponde à multiplicação no domínio de s.
Seja
, cuja transformada inversa é
. Então, a transformada inversa de
será a convolução de
com ele mesmo:
Passo 4
Vamos calcular essa integral de convolução:
Podemos usar uma identidade trigonométrica para simplificar essa expressão:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular cada parte da integral separadamente:
Primeiro,
:
Fazendo uma substituição
, temos
ou
. Alterando os limites:
Quando
,
;
Quando ,
.
Quando
Assim:
Agora, a segunda parte da integral:
Passo 6
Juntando tudo, temos:
Portanto, a transformada de Laplace inversa de
é:
Resposta
Exercícios relacionados
calcule as transformadas de Laplace.
usando a definição de Transformada de Laplace, mostre que:
calcule as transformadas de Laplace.
calcule as transformadas de Laplace.