calcule as transformadas de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace juntos! A questão pede para calcular a transformada de Laplace de
, onde
e
são números reais. Para isso, vamos precisar usar algumas propriedades das transformadas de Laplace, especialmente a que lida com a multiplicação por
e funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a transformada de Laplace de uma função básica. A transformada de Laplace de
é conhecida e é dada por:
Mas aqui temos uma função mais complicada:
. Para resolver isso, vamos utilizar a propriedade que relaciona a multiplicação por
com a derivada da transformada.
Passo 3
A propriedade que vamos usar é:
Ou seja, para encontrar a transformada de
, basta derivar a transformada de
em relação a
e mudar o sinal.
Passo 4
Vamos definir
. Agora, vamos calcular a transformada de
:
Essa é uma fórmula conhecida para a transformada de Laplace de uma função exponencial multiplicada por um cosseno.
Passo 5
Agora, aplicando a propriedade que mencionamos no Passo 3:
Vamos calcular essa derivada.
Passo 6
Vamos derivar a função
em relação a
:
Simplificando:
Passo 7
Aplicando o sinal negativo da propriedade:
Resposta
A transformada de Laplace de
é:
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Determine a transformada de Laplace
.
calcule as transformadas de Laplace inversa.