calcule as transformadas de Laplace.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace juntos! A questão pede para calcular a transformada de Laplace de , onde e são números reais. Para isso, vamos precisar usar algumas propriedades das transformadas de Laplace, especialmente a que lida com a multiplicação por e funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a transformada de Laplace de uma função básica. A transformada de Laplace de é conhecida e é dada por:
Mas aqui temos uma função mais complicada: . Para resolver isso, vamos utilizar a propriedade que relaciona a multiplicação por com a derivada da transformada.

Passo 3

A propriedade que vamos usar é:
Ou seja, para encontrar a transformada de , basta derivar a transformada de em relação a e mudar o sinal.

Passo 4

Vamos definir . Agora, vamos calcular a transformada de :
Essa é uma fórmula conhecida para a transformada de Laplace de uma função exponencial multiplicada por um cosseno.

Passo 5

Agora, aplicando a propriedade que mencionamos no Passo 3:
Vamos calcular essa derivada.

Passo 6

Vamos derivar a função em relação a :
Simplificando:

Passo 7

Aplicando o sinal negativo da propriedade:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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