calcule as transformadas de Laplace.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a transformada de Laplace de . Isso envolve conceitos de transformadas de Laplace e o uso de derivadas para lidar com o termo . Vamos precisar lembrar como é a transformada de Laplace da função seno e como manipular funções multiplicadas por potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Laplace. Para uma função , a transformada de Laplace é dada por:
Isso nos permite transformar uma função no domínio do tempo para o domínio da frequência .

Passo 3

Sabemos que a transformada de Laplace da função seno é:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a transformada de . Existe uma propriedade das transformadas de Laplace que nos ajuda aqui: se , então:
Para , isso fica:

Passo 5

Vamos calcular a segunda derivada de em relação a :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace de é:

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usando a definição de Transformada de Laplace, mostre que:
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calcule as transformadas de Laplace inversa.
calcule as transformadas de Laplace.