usando a definição de Transformada de Laplace, mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício da Transformada de Laplace, que faz parte do estudo de equações diferenciais e sistemas lineares. A gente precisa mostrar que a transformada de Laplace da função seno,
, é igual a
para
. Para resolver isso, vamos usar a definição da Transformada de Laplace e fazer a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da Transformada de Laplace. Ela é dada por:
No nosso caso,
. Então, substituindo na definição, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa integral. Sabemos que existe uma fórmula de integração para
, que é:
Como estamos calculando a Transformada de Laplace, precisamos avaliar essa integral de
a
.
Passo 4
Aplicando os limites de integração, temos:
Quando
tende a
,
tende a zero (porque
), então a expressão na soma em
será zero. Já em
,
e
, então a expressão vira:
Mas como estamos subtraindo o limite inferior do superior, fica:
Resposta
Exercícios relacionados
usando a definição de Transformada de Laplace, mostre que:
usando a definição de Transformada de Laplace, mostre que:
calcule as transformadas de Laplace.
calcule as transformadas de Laplace inversa.