usando a definição de Transformada de Laplace, mostre que:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício da Transformada de Laplace, que faz parte do estudo de equações diferenciais e sistemas lineares. A gente precisa mostrar que a transformada de Laplace da função seno, , é igual a para . Para resolver isso, vamos usar a definição da Transformada de Laplace e fazer a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da Transformada de Laplace. Ela é dada por:
No nosso caso, . Então, substituindo na definição, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa integral. Sabemos que existe uma fórmula de integração para , que é:
Como estamos calculando a Transformada de Laplace, precisamos avaliar essa integral de a .

Passo 4

Aplicando os limites de integração, temos:
Quando tende a , tende a zero (porque ), então a expressão na soma em será zero. Já em , e , então a expressão vira:
Mas como estamos subtraindo o limite inferior do superior, fica:

Resposta

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usando a definição de Transformada de Laplace, mostre que:
usando a definição de Transformada de Laplace, mostre que:
calcule as transformadas de Laplace.
calcule as transformadas de Laplace inversa.