calcule as transformadas de Laplace inversa.
Passo 1
Então, temos aqui um exercício onde precisamos calcular as transformadas de Laplace inversa da expressão
. Vamos usar conceitos de Transformada de Laplace, especialmente suas propriedades de linearidade e as fórmulas conhecidas para transformar essas frações de volta para o domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a expressão em duas partes para facilitar o cálculo:
Passo 3
Vamos resolver a primeira parte:
.
Sabemos que a transformada inversa de
é
. Aqui,
e
.
Aplicando a fórmula:
Passo 4
Agora, vamos resolver a segunda parte:
.
Primeiro, simplificamos o denominador:
Isso pode ser fatorado ou reescrito para se assemelhar a uma forma conhecida da transformada inversa. Vamos completar o quadrado:
Então, temos:
Sabemos que a transformada inversa de
é
, onde
é a função seno hiperbólico.
Aqui,
e
.
Aplicando a fórmula:
Resposta
A transformada de Laplace inversa da expressão dada é:
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.
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