calcule as transformadas de Laplace inversa.

Passo 1

Então, temos aqui um exercício onde precisamos calcular as transformadas de Laplace inversa da expressão . Vamos usar conceitos de Transformada de Laplace, especialmente suas propriedades de linearidade e as fórmulas conhecidas para transformar essas frações de volta para o domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a expressão em duas partes para facilitar o cálculo:

Passo 3

Vamos resolver a primeira parte: .
Sabemos que a transformada inversa de é . Aqui, e .
Aplicando a fórmula:

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda parte: .
Primeiro, simplificamos o denominador:
Isso pode ser fatorado ou reescrito para se assemelhar a uma forma conhecida da transformada inversa. Vamos completar o quadrado:
Então, temos:
Sabemos que a transformada inversa de é , onde é a função seno hiperbólico.
Aqui, e .
Aplicando a fórmula:

Resposta

A transformada de Laplace inversa da expressão dada é:

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