Determine a transformada de Laplace .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace de . A matéria envolvida aqui é Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Vamos precisar conhecer a definição da transformada de Laplace e a função Gamma, que nos ajuda a lidar com potências fracionárias de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Laplace para uma função :
No nosso caso, .

Passo 3

Sabemos que a transformada de Laplace de é dada por:
Aqui, é a função Gamma, que generaliza o fatorial para números reais e complexos.

Passo 4

Vamos identificar o valor de na nossa função. Como temos , então .

Passo 5

Agora, calculamos . Sabemos que:

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula da transformada de Laplace:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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