Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace inversa. A gente precisa encontrar a transformada inversa de:
Aqui, estamos trabalhando com Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais, que nos ajuda a quebrar a expressão em partes mais simples que a gente já conhece a transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos expressar:
Aqui, , , e são constantes que precisamos determinar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito.
Passo 4
Expandindo:
Distribuindo , , e multiplicando com :
Passo 5
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 6
Como isso deve ser igual a , podemos igualar os coeficientes de cada potência de :
Passo 7
Vamos resolver esse sistema de equações:
De , temos .
Substituindo na segunda equação:
Substituindo na terceira equação:
Substituindo na equação :
Substituindo :
Com :
Passo 8
Então, substituindo os valores encontrados:
Simplificando:
Passo 9
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separado: