calcule as transformadas de Laplace inversa. L^{-1}{s/((s+1)^{2}(s^{2}+1))}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace inversa. A gente precisa encontrar a transformada inversa de:
Aqui, estamos trabalhando com Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais, que nos ajuda a quebrar a expressão em partes mais simples que a gente já conhece a transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos expressar:
Aqui, , , e são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito.

Passo 4

Expandindo:
Distribuindo , , e multiplicando com :

Passo 5

Agora, agrupamos os termos semelhantes:

Passo 6

Como isso deve ser igual a , podemos igualar os coeficientes de cada potência de :

Passo 7

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. De , temos .
  2. Substituindo na segunda equação:
  1. Substituindo na terceira equação:
  1. Substituindo na equação :
  1. Substituindo :
  1. Com :

Passo 8

Então, substituindo os valores encontrados:
Simplificando:

Passo 9

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separado:
  1. Para , a transformada inversa é:
Isso porque .
  1. Para , a transformada inversa é:
Já que com .

Resposta

Exercícios relacionados