calcule as transformadas de Laplace inversa.

Passo 1

Neste exercício, precisamos calcular a transformada de Laplace inversa de . Isso envolve usar conceitos da transformada de Laplace e propriedades de integrais para encontrar a função no domínio do tempo correspondente a essa expressão.

Passo 2

Primeiramente, recordamos que a transformada de Laplace inversa, denotada por , tem como objetivo encontrar a função no domínio do tempo cuja transformada de Laplace é dada. Ou seja, queremos encontrar tal que:

Passo 3

Observamos que a função pode ser expressa como uma integral:
Essa representação é útil porque facilita a aplicação da transformada de Laplace inversa.

Passo 4

Aplicamos agora a transformada de Laplace inversa na expressão acima:

Passo 5

Podemos trocar a ordem da transformada de Laplace inversa e da integral, o que é válido sob certas condições de convergência:

Passo 6

Sabemos que a transformada de Laplace inversa de é . Aplicando isso na nossa expressão:

Passo 7

A integral é conhecida como a função integral de seno, denotada por . Portanto, temos:

Resposta

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