usando propriedades das transformadas de Laplace, calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a Transformada de Laplace de
. Estamos trabalhando com Transformadas de Laplace, que são ferramentas muito úteis para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades das transformadas, especialmente a propriedade de multiplicação por uma exponencial e a transformada de funções polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da Transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é dada por:
No nosso caso,
.
Passo 3
Agora, vamos utilizar a propriedade da transformada de Laplace que lida com a multiplicação de
por uma exponencial
. Essa propriedade é conhecida como Teorema da Mudança de Frequência, e ela diz que:
Onde
é a transformada de Laplace de
.
Passo 4
Aplicando essa propriedade ao nosso caso, temos
e
. Então, precisamos primeiro encontrar a transformada de
e depois aplicar o deslocamento na frequência.
Sabemos que a transformada de Laplace de
é:
Onde
é o fatorial de
.
Passo 5
Calculando a transformada de
:
Passo 6
Agora, aplicamos o teorema da mudança de frequência. Substituímos
por
:
Resposta
A Transformada de Laplace de
é:
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