usando propriedades das transformadas de Laplace, calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a Transformada de Laplace de . Estamos trabalhando com Transformadas de Laplace, que são ferramentas muito úteis para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades das transformadas, especialmente a propriedade de multiplicação por uma exponencial e a transformada de funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da Transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é dada por:
No nosso caso, .

Passo 3

Agora, vamos utilizar a propriedade da transformada de Laplace que lida com a multiplicação de por uma exponencial . Essa propriedade é conhecida como Teorema da Mudança de Frequência, e ela diz que:
Onde é a transformada de Laplace de .

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, temos e . Então, precisamos primeiro encontrar a transformada de e depois aplicar o deslocamento na frequência.
Sabemos que a transformada de Laplace de é:
Onde é o fatorial de .

Passo 5

Calculando a transformada de :

Passo 6

Agora, aplicamos o teorema da mudança de frequência. Substituímos por :

Resposta

A Transformada de Laplace de é:

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