Calcule as transformadas de Laplace inversas:

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular a transformada de Laplace inversa da função . A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, especificamente o uso de frações parciais para decompor funções racionais em termos mais simples que são mais fáceis de inverter. Vamos precisar conhecer como decompor frações e aplicar as propriedades das transformadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a função em frações parciais. Isso significa que queremos escrever essa função como a soma de duas frações, cada uma com um dos denominadores originais. Assim, assumimos que:

Passo 3

Para encontrar os valores de e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, vamos rearranjar os termos:

Passo 4

Para que a igualdade seja válida para todo valor de , os coeficientes dos termos correspondentes em ambos os lados devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
  1. (coeficiente de )
  2. (termo constante)

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação, temos .
Substituindo na segunda equação:
Então, .

Passo 6

Substituindo os valores de e na decomposição original:

Passo 7

Agora, aplicamos a transformada de Laplace inversa a cada termo separadamente. Sabemos que:
Então, temos:

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace inversa é:

Exercícios relacionados

Calcule as transformadas de Laplace inversas:
Calcule as transformadas de Laplace inversas:
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:
Calcule as transformadas de Laplace inversas: