Calcule as transformadas de Laplace inversas:
Passo 1
Neste exercício, vamos calcular a transformada de Laplace inversa da função
. A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, especificamente o uso de frações parciais para decompor funções racionais em termos mais simples que são mais fáceis de inverter. Vamos precisar conhecer como decompor frações e aplicar as propriedades das transformadas de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a função
em frações parciais. Isso significa que queremos escrever essa função como a soma de duas frações, cada uma com um dos denominadores originais. Assim, assumimos que:
Passo 3
Para encontrar os valores de
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, vamos rearranjar os termos:
Passo 4
Para que a igualdade seja válida para todo valor de
, os coeficientes dos termos correspondentes em ambos os lados devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
-
(coeficiente de ) -
(termo constante)
Passo 5
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação, temos
.
Substituindo na segunda equação:
Então,
.
Passo 6
Substituindo os valores de
e
na decomposição original:
Passo 7
Agora, aplicamos a transformada de Laplace inversa a cada termo separadamente. Sabemos que:
Então, temos:
Resposta
Portanto, a transformada de Laplace inversa é:
Exercícios relacionados
Calcule as transformadas de Laplace inversas:
Calcule as transformadas de Laplace inversas:
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:
Calcule as transformadas de Laplace inversas: