Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace. A equação que temos é:
com a condição inicial .
Vamos precisar usar as propriedades da transformada de Laplace para derivadas e para funções exponenciais multiplicadas por cosseno.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
E como , isso simplifica para:
Então, aplicando a transformada na equação:

Passo 3

Agora, vamos resolver o lado direito. A transformada de Laplace de é:
Aqui, e , então:

Passo 4

Voltando à equação transformada:
Fatorando :
Então, isolando :

Passo 5

Agora, precisamos fazer a decomposição em frações parciais para facilitar a inversa. Vamos reescrever:
Para simplificar, reconhecemos que o denominador está no formato de uma função quadrática e linear, permitindo que usemos tabelas de transformadas ou propriedades conhecidas para encontrar .

Passo 6

Após simplificar e aplicar a transformada inversa, chegamos à solução no domínio do tempo:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Calcule as transformadas de Laplace inversas:
Calcule as transformadas de Laplace inversas:
Calcule as transformadas de Laplace inversas:
Calcule as transformadas de Laplace inversas: