Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace. A equação que temos é:
com a condição inicial
.
Vamos precisar usar as propriedades da transformada de Laplace para derivadas e para funções exponenciais multiplicadas por cosseno.
Vamos precisar usar as propriedades da transformada de Laplace para derivadas e para funções exponenciais multiplicadas por cosseno.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
E como
, isso simplifica para:
Então, aplicando a transformada na equação:
Passo 3
Agora, vamos resolver o lado direito. A transformada de Laplace de
é:
Aqui,
e
, então:
Passo 4
Voltando à equação transformada:
Fatorando
:
Então, isolando
:
Passo 5
Agora, precisamos fazer a decomposição em frações parciais para facilitar a inversa. Vamos reescrever:
Para simplificar, reconhecemos que o denominador está no formato de uma função quadrática e linear, permitindo que usemos tabelas de transformadas ou propriedades conhecidas para encontrar
.
Passo 6
Após simplificar e aplicar a transformada inversa, chegamos à solução no domínio do tempo:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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