Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a transformada de Laplace inversa da função . Isso está dentro do conteúdo de transformadas de Laplace, onde vamos precisar aplicar a decomposição em frações parciais para simplificar a expressão e facilitar a inversão.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Observando, percebemos que é um polinômio biquadrado, então podemos substituir e fatorar:
Voltando para , temos:
Passo 3
Agora, vamos escrever a fração original como uma soma de duas frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Passo 4
Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de :
Resolvendo o sistema:
De , temos .
Substituindo na terceira equação: .
Então, .
De , temos .
Substituindo na quarta equação: .
Então, .
Passo 6
Agora que temos os valores de , , e , substituímos de volta na expressão das frações parciais:
Passo 7
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace inversa a cada termo separadamente. Sabemos que: