Calcule as transformadas de Laplace inversas:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a transformada de Laplace inversa da função . Isso está dentro do conteúdo de transformadas de Laplace, onde vamos precisar aplicar a decomposição em frações parciais para simplificar a expressão e facilitar a inversão.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Observando, percebemos que é um polinômio biquadrado, então podemos substituir e fatorar:
Voltando para , temos:

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração original como uma soma de duas frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de :
Resolvendo o sistema:
  1. De , temos .
  2. Substituindo na terceira equação: .
  3. Então, .
  4. De , temos .
  5. Substituindo na quarta equação: .
  6. Então, .

Passo 6

Agora que temos os valores de , , e , substituímos de volta na expressão das frações parciais:

Passo 7

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace inversa a cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace inversa é:

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Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:
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