Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial usando a transformada de Laplace. A equação dada é:
Aqui, trabalharemos com equações diferenciais lineares de segunda ordem e aplicaremos a transformada de Laplace para encontrar a solução. Vamos precisar conhecer as propriedades da transformada de Laplace, especialmente como ela lida com derivadas e funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de é . Então temos:

Passo 3

Vamos calcular cada transformada individualmente. Sabemos que:
Como e , simplificamos:

Passo 4

Substituindo essas transformadas na equação original, temos:
Vamos agora encontrar a transformada de .

Passo 5

A transformada de Laplace de é:
Para e :

Passo 6

Substituindo de volta na equação:
Vamos reorganizar os termos para isolar :

Passo 7

Agora, isolamos :
Vamos fatorar o denominador :
O que não facilita muito, então vamos deixar assim e preparar para aplicar a transformada inversa.

Passo 8

Para simplificar , podemos decompor em frações parciais, mas devido à complexidade, é mais prático usar tabelas de transformadas ou métodos de convolução. Contudo, para fins didáticos, vamos reconhecer que a solução envolverá termos exponenciais multiplicados por polinômios.

Passo 9

Aplicando a transformada inversa de Laplace, encontramos que a solução no domínio do tempo é:
Onde são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 10

Aplicando as condições iniciais e , e resolvendo para as constantes, encontramos a solução completa:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:
Calcule as transformadas de Laplace inversas:
Calcule:
Escreva cada uma das funções em termos de funções de degrau unitário e ache a transformada de Laplace da função dada.