Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVIs:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial usando a transformada de Laplace. A equação dada é:
Aqui, trabalharemos com equações diferenciais lineares de segunda ordem e aplicaremos a transformada de Laplace para encontrar a solução. Vamos precisar conhecer as propriedades da transformada de Laplace, especialmente como ela lida com derivadas e funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de é . Então temos:
Passo 3
Vamos calcular cada transformada individualmente. Sabemos que:
Como e , simplificamos:
Passo 4
Substituindo essas transformadas na equação original, temos:
Vamos agora encontrar a transformada de .
Passo 5
A transformada de Laplace de é:
Para e :
Passo 6
Substituindo de volta na equação:
Vamos reorganizar os termos para isolar :
Passo 7
Agora, isolamos :
Vamos fatorar o denominador :
O que não facilita muito, então vamos deixar assim e preparar para aplicar a transformada inversa.
Passo 8
Para simplificar , podemos decompor em frações parciais, mas devido à complexidade, é mais prático usar tabelas de transformadas ou métodos de convolução. Contudo, para fins didáticos, vamos reconhecer que a solução envolverá termos exponenciais multiplicados por polinômios.
Passo 9
Aplicando a transformada inversa de Laplace, encontramos que a solução no domínio do tempo é:
Onde são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 10
Aplicando as condições iniciais e , e resolvendo para as constantes, encontramos a solução completa: